Автор: П.С. Александров, А.И. Маркушевич, А.Я. Хинчин

Кол-во томов: 7

Том: 1

Издательство: Государственное издатеоьство технико-теоретической литературы

Год: 1950

Страниц: 449

Формат: DJVU

Качество: хорошее

 

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие

ПРОИСХОЖДЕНИЕ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
Введение
§ 1. Начальная стадия развития счёта
§ 2. Непозищюнные системы счисления
§ 3. Алфавитные системы нумерации
§ 4. Поместные или позиционные системы счисления
§ 5. Распространение позиционного принципа записи чисел в Западной Европе и в России
§ 6. Дроби
Заключение

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АРИФМЕТИКИ
Введение

Глава I. Множества
§ 1. Понятие о- множестве
§ 2. Операции над множествами
§ 3. Функция, отображение, мощность
§ 4. Конечные и бесконечные множества
§ 5. Упорядоченные множества

Глава II. Группы, кольца и поля
§ 6. Группа
§ 7. Кольцо
§ 8. Поле
§ 9. Аксиоматическое построение математики. Изоморфизм
§ 10. Расположенные кольца и поля

Глава III. Натуральные числа
§ 11. Аксиомы натуральных чисел
§ 12. Сложение
§ 13. Умножение
§ 14. Порядок
§ 15. Индуктивные определения. Сумма и произведение нескольких чисел
§ 16. Вычитание и деление
§ 17. Замечания о системе аксиом натуральных чисел

Глава IV. Кольцо целых чисел
§ 18. Принцип расширения в арифметике и алгебре
§ 19. Эквивалентность и разбиение на классы
§ 20. Определение кольца целых чисел
§ 21. Свойства целых чисел

Глава V. Поле рациональных чисел
§ 22. Определение поля рациональных чисел
§ 23. Свойства рациональных чисел

Глава VI. Поле действительных чисел
§ 24. Полные и непрерывные ноля
§ 25. Определение поля действительных чисел
§ 26. Свойства действительных чисел
§ 27. Аксиоматическое определение действительных чисел

Глава VII. Поле комплексных чисел
§ 28. Определение поля комплексных чисел
§ 29. Свойства комплексных чисел
§ 30. Гиперкомплексные числа, кватернионы
Литература

Глава I. Делимость и простые числа
§ 1. Введение
§ 2. Однозначное разложение чисел на простые множители
§ 3. О простых числах

Глава II. Метод сравнений
§ 4. Введение
§ 5. Сравнения и их основные свойства
§ 6. Классификация чисел по данному модулю
§ 7. Сравнения, содержащие неизвестные

Глава III. Алгорифм Евклида и цепные дроби
§ 8. Алгорифм Евклида
§ 9. Элементарная теория ценных дробей

Глава IV. Представление чисел систематическими и цепными дробями
§ 10. Введение
§ 11. Систематические дроби
§ 12. Цепные дроби

Глава V. Цепные дроби и диофантовы приближения
§ 13. Подходящие дроби в роли наилучших приближений
§ 14. Диофантовы приближения

Глава VI. Алгебраические и трансцендентные числа
§ 15. Теорема Лиувилля и первое появление трансцендентных чисел
§ 16. Метод Кантора
§ 17. Арифметическая природа классических постоянных
Литература

Глава I. Общие сведения о счёте и приближённых вычислениях
§ 1. Общие соображения об изучении счёта в школе
§ 2. Счёт устный
§ 3. Счёт письменный
§ 4. Вспомогательные средства вычисления
§ 5. Приближённые значения
§ 6. Различные способы оценки точности приближённых значений
§ 7. Обработка результатов измерений

Глава II. Учёт погрешностей
§ 8. Вычисления со строгим учётом погрешностей по способу границ
§ 9. Вычисления со строгим учётом погрешностей по способу границ погрешностей
§ 10. Предельные погрешности результатов действий над приближёнными значениями. Правила подсчёта цифр
§ 11. Средние квадратические погрешности результатов действий над приближёнными числами. Принцип академика А. Н. Крылова
§ 12. Распределение погрешностей в результатах вычислений
§ 13. Практические применения правил подсчёта цифр. Сводка этих правил

Глава III. Различные вопросы
§ 14. Приближённые формулы. Сокращённые приёмы действий
§ 15. Математические таблицы
§ 16. Графические вычисления
§ 17. Счётная логарифмическая линейка
§ 18. Вычислительная работа в разные годы обучения
Литература
Алфавитный указатель

 

Издание «Энциклопедии элементарной математики» задумано Академией педагогических наук РСФСР как пособие для учителей математики средней школы и студентов физико-математических факультетов педагогических и учительских институтов. Его назначение— дать систематическое изложение научных основ школьного предмета математики. Отсюда вытекают особенности этого издания. Прежде всего труд этот не может служить для первоначального изучения предмета. Он предназначается для людей, изучавших элементарную математику и уже ставших или готовящихся стать преподавателями элементарной математики. Он не следует, как правило, ни порядку, ни способу изложения математики в средней школе, так как то и другое обусловлено возрастными особенностями учащихся и общеобразовательными целями средней школы, т. е. соображениями, которые не играют роли по отношению к подготовленному читателю-профессионалу. Логика нашего издания — это логика систематического, по возможности простого и доступного, изложения тех вопросов математической науки, из которых строится школьный курс, а также и тех, которые хотя и не находят в этом курсе прямого выражения, однако необходимы для правильного и сознательного его понимания и создают перспективы для дальнейшего развития содержания и методов школьного курса.

Всё издание рассчитано на 7 книг объёмом от 350 до 450 страниц в каждой. Хотя эти книги и их разделы подчинены единому плану, всё же, как правило, ими можно пользоваться независимо одна от другой. Более того, разделы этих книг также могут читаться в большой мере независимо друг от друга. В то же время в отдельных статьях книги встречаются ссылки на ту или иную статью «Энциклопедии» Вот общий план издания:
Книга первая. Арифметика.

Происхождение систем счисления. Понятия множества, группы, кольца и поля; теоретические основы арифметики. Элементы теории чисел. Устный и письменный счёт; вспомогательные средства вычислений.

Книга вторая. Алгебра.

Векторные пространства и линейные преобразования. Кольцо многочленов и поле рациональных функций. Численные и графические методы решения уравнений.
Книга третья. Анализ.

Функции и пределы; рациональная, степенная, показательная и логарифмическая функции; тригонометрические функции и обратные им. Элементы дифференциального и интегрального исчислений. Элементарные функции комплексного переменного.

Книга четвёртая. Геометрия, часть I.

Топологические понятия. Основания геометрии. Понятие о неевклидовых геометриях. Элементы аналитической и проективной геометрии. Геометрические преобразования. Измерение площадей, длин, объёмов и поверхностей.

Книга пятая. Геометрия, часть II.

Многоугольники и многогранники. Круги и сферы. Применения к геодезии и астрономии. Замечательные кривые и поверхности. Задачи на построение. Методы графических изображений.

Книга шестая. Разл и* н ы е вопросы.

Комбинаторика. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Знаменитые математические задачи. Математические парадоксы и софизмы. Математические развлечения и игры.

Книга седьмая. Методология и история мате-м а т и к и.
Математика и её место среди других наук, основные этапы её развития, методы и задачи. Очерк истории математики.Математика в Советском Союзе. Приложение. Терминологический словарь.

Первая книга открывается статьёй И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевича, посвященной системам счисления и нумерации, рассматриваемым в культурно-историческом разрезе.

Далее идёт обширная статья И. В. Проскурякова, задача которой заключается в построении теоретических основ арифметики. В двух первых главах статьи рассматриваются весьма общие математические понятия, значение которых далеко выходит за пределы » арифметики и которые неоднократно используются как в первой книге, так и в дальнейших. Это понятия множества, группы, кольца и поля.

Центральное место в статье занимает аксиоматическое изложение теории натуральных чисел; это — теоретический фундамент всей арифметики. На основе теории натуральных чисел развёртывается в порядке последовательного обобщения теория целых, рациональных, действительных и, наконец, комплексных чисел. Автор знакомит также с дальнейшими обобщениями понятия числа (гиперкомплексные числа). Вся статья в целом принадлежит к числу наиболее трудных и отвлечённых во всём настоящем издании; трудности здесь коренятся в самом существе дела. Читатель, не заинтересованный в первую очередь вопросами логического обоснования арифметики, может опустить эту статью, обращаясь по мере надобности для справок к её первым двум главам.

Статья А. Я- Хинчина излагает наиболее элементарные и важные вопросы теории чисел. Сюда относятся вопросы, связанные с теорией делимости, в частности теория цепных (непрерывных) дробей и вопросы приближения иррациональных чисел посредством рациональных.

Наконец, статья В. М. Брадиса посвящена вопросам округления чисел, правилам приближённых вычислений, подсчёта погрешностей и вспомогательным средствам вычислений, включая логарифмическую линейку.

Существенным дополнением к первой книге должны служить сведения об этапах исторического развития понятия числа, о постепенном и весьма длительном формировании общего понятия натурального числа, о развитии понятия дроби, о том прообразе позднейшей теории действительных положительных чисел, который сложился у древних греков (в «Началах Евклида»), о развитии понятия отрицательных и комплексных чисел в связи с теорией уравнений, а впоследствии — аналитической геометрией и анализом. Эти сведения не выделяются нами в отдельную статью; они включаются в общий очерк истории математики, помещаемый в последней книге всего издания.